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※ 引述《devidevi (蜜蜜)》之銘言：
: ※ 引述《zax8419 (不要查我哎批嘛Q)》之銘言：
: : %如果想要確切了解1+2+3+....=-1/12 可以去google zeta函數
: : 一個至今還在爭論の數學(?)問題
: : (3)1+2+3+4+.......= -1/12 ?
: 1.誰可以告訴我，為什麼正數無限相加會等於負的???
: 2.如果這點是謬論，可以代表這個人所說都都是謬論嗎??

我們可以先考慮1 e^(-x) + 2 e^(-2x) + ...
這個級數無論正數x多小都會收斂，所以可以求和
其結果是 e^(-x)/(1-e^(-x))^2 = 1/x^2 - 1/12 + x^2/240 + ...
然後再令x→0，得到1 + 2 + ... = ∞ + (-1/12)

當然這個結論大有問題
畢竟今天我們是用一個特定的變形（e^(-nx)）來求和
藉以分離無限（隨著x發散的部分）跟有限（-1/12）
題目本身並沒有告訴我們要先乘上這個exp再令x→0呀
萬一我們用了其他變形，比如說e^(-nx^2)或(n/L)^(-x)
那我們怎麽保證答案還會一樣？

事實上這就是物理學家所謂的regularization的關鍵
可以證明在這個例子（以及其他的：量子場、弦論等）
只要這個變形滿足某些性質
例如說1. x代0要回到原本的和 2. 收斂速度夠快  等等
用哪個函數都會給出-1/12這項
所以才會有人說是∞ + (-1/12)

許多人或許聽過夸克、微中子、希格斯粒子
我們對這些粒子物理的理解是建構在量子場論上的
卻很少人知道量子場論差點被整套打掉重來
就因爲不管你做什麼計算都會碰到無限大
電荷？無限大.質量？無限大.機率？無限大.
東補西補物理學家得到一個結論：
只要這個無限大是∞ + a 這種形式
那就有希望把∞的部分藏到理論定義裡面
使得我們可以得到有限的a這個結果
而這當然得要a的值不取決於我們怎麽藏∞


也因此不能再說-1/12只是數學把戲而已

弦論之所以會常被跟1 + 2 + ... 連在一起
是因爲某種弦的振動可以對應到1單位, 2單位, ... 的能量
總能量就用-1/12做計算，其他的藏起來了
科普比較少提到的是就因爲這個-1/12
這個版本的弦論必須在12 * 2 + 2 = 26 維時空才能存在

打得太長大概很多人會直接END
稍微有些微積分底子的板友
可以試試用不同的變形得到-1/12
對數學物理不感興趣的板友
只要知道當初物理學家也是不得已才研究這個的
不是想隨便唬爛人

延伸閱讀：
Quantum Field Theory and the Standard Model, Ch. 15

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