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看板 Gossiping
作者 標題 Re: [問卦] 0.99999999999…和1
時間 Sun Oct 22 23:24:57 2017
※ 引述《jacklin515 (二中U文生產器)》之銘言：
: 根據數學的「定義」0.9999999999…就等於1
: 不過在全知的觀點上0.999999999…永遠會向1逼近 但也永遠不會碰到1
: 所以本質上是兩個不同的數 只是無限接近
: 因為中間永遠差0.00000000…1
: 數學為了解決這個bug 所以用一個定義「繞過」這個爭議
: 我話說完 誰贊成 誰反對
: 我文組啦抱歉
Hey 這位文組的同學，我贊成你「定義上」0.999999...=1，但是反對你說數學家為了解決
這個bug才硬是定義成這樣窩。
對於0.999999999...=1這個等式,有兩件事情必須先釐清:
(1)0.9999....是什麼意思?
(2)0.999999... =1的等號是什麼意思?
(1)
對於0.999999....是什麼意思,很多人會說「就是0.9999.....然後9一直寫不停阿」,可
是抱歉,「寫不停」並不是一個數學上嚴謹的概念。也就是我們無法直接將0.999.....當
作一個有定義的數字。讓我們從頭建構數字就會比較清楚了(只是大概而已,歷史上
是抱歉,「寫不停」並不是一個數學上嚴謹的概念。也就是我們無法直接將0.999.....當
作一個有定義的數字。讓我們從頭建構數字就會比較清楚了(只是大概而已,歷史上
不一定真是這樣的順序,不過對我們了解我們可掌握的數字沒影響):
對於古代人來說，他們可能為了數數(數蘋果或貨物等)而發明了自然數(也就是1、2、3...
等的概念),
然後有欠債的觀念而進入整數的觀念(...-3、-2、-1、0、1、2、3、...)
然後有分配的觀念而進入有理數的觀念(如2/3 7/4,也就是分子分母都是整數的數值)
讓我們在這裡停一下,你有發現0.9999999......這個東西根本不存在我們的建構裡嗎？
請記得我們的有理數要寫成 "整數/整數" 的形式
所以0.9999.......作為「數字」根本不存在，幫QQ
事實上,0.99999.......只是一個「記號」而已，這個記號你應該這樣解讀：
令 X_1=0.9
X_2=0.99
X_3=0.999
X_4=0.9999
.
.
.
然後0.99999...這符號就是代表「取數列{X_n}的極限」(也就是那面那堆數列的極限)
(by the way, 就是取極限的過程讓你覺得它一直在動)
接下來,我要解釋極限的概念也就是(2)
(2)
如果你有學過微積分,一開始大概都會學'丟它-欸鋪西龍'的觀念,也就是說極限
這個概念在數學上已經是「完好定義且嚴謹」的觀念惹.在這裡我只想大概說一下：
對於一個數列來說,它的極限值(假設這個極限值存在)就是某一個「數字」(假設
是A)，A跟這個數列的關係是當數列的index越大,則數列的值跟A的差距越小
要注意的是A這個值「重頭到尾」都要是一個固定的值,不可以跟著數列在變。
所以你回頭看，X_n的極限值是不是就是1這個「數字」呢
也就是說0.999...=1的「等號」，並不是我們從小學的那個1=1,3=3,6-4=2的那個等號。
這個「等號」，實際上的意思是「極限值是」的意思。只不過對於數學家來說，我
們可以很容易分清出在不同情形下的解讀方法，所以才沒有另外定義別的符號。
要不然你要把「極限值是」寫成別的符號，比方說'≡'，是OK的。此時就變成0.999...≡1惹
以上，你了解0.9999999999.......=1的內涵了嗎:))))))))))))))
註:
(1)
有人會寫類似以下這種證明:
令x=0.9999......
=> 10x=9.9999999.....
(下面的式子減上面的式子)=> 9x=9
=> x=1
但事實上這不是證明,因為這論證過程已經假設知道0.999...是什麼了(而且還知
道它*10是什麼意思囧)
這個過程只是一個能夠幫你找到「有理數-分子分母的形式」的演算法罷了(像0.878787...
=87/99)
(2)你也可以發現,對於人類來說,我們只能經由「有限」來了解「無限」的概念。
所以你可以看到每一個X_n的9的個數,都是有限的
--
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※ 文章代碼(AID): #1PxBXCNA (Gossiping)
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推 : 先推，不然別人以為我看得懂1F 10/22 23:26
推 : 沒錯！真的就是這樣而已2F 10/22 23:26
噓 : ？？看不懂喇3F 10/22 23:27
推 : 這不是八卦文4F 10/22 23:27
推 : 這不難吧…5F 10/22 23:28
※ 編輯: chieh27 (111.248.192.119), 10/22/2017 23:29:50推 : 感謝你把我想說的都打出來了6F 10/22 23:28
→ : 0.9循環好像三不五時就被拿來當掛問 都不知道幾篇解了7F 10/22 23:28
推 : 所以其實那個論證方式是有問題的8F 10/22 23:29
推 : 有問題R 但是小學生都看的懂 所以常拿來用9F 10/22 23:30
※ 編輯: chieh27 (111.248.192.119), 10/22/2017 23:33:14推 : 好10F 10/22 23:32
推 : 嗯！我文組抱歉QAQ11F 10/22 23:34
→ : 所以問題的點，就變成對於 = 的定義了12F 10/22 23:35
→ : X=無限位數的9 10X-X=9X=9 所以無現位數的9=1 (?13F 10/22 23:35
推 : 無限的概念很難拉 但是認為數學有BUG真的蠻呵呵的14F 10/22 23:37
→ : 看是看得懂 總覺得寫法怪怪的 還是只是很粗糙？15F 10/22 23:37
→ : 看了三次我覺得我是智障16F 10/22 23:38
→ : 就實數極限跟連續性的定義而已 沒把數系搞懂的話確實會有17F 10/22 23:41
→ : 原po的疑問~_~
→ : 原po的疑問~_~
→ : 有可能我真的表達得不是很好QQ 在這領域久了,有些概念已19F 10/22 23:41
→ : 經很習慣了,所以可能會忘了不常碰這些概念的人遇到的問題
→ : 是什麼QQ
→ : 經很習慣了,所以可能會忘了不常碰這些概念的人遇到的問題
→ : 是什麼QQ
→ : 雖然極限值定義高中就有教 但背代表的意義其實很多人沒有22F 10/22 23:44
→ : 體會到..
→ : 體會到..
推 : 推好心人 你已經很認真傳達了 但原PO會不會認真來讀懂呢24F 10/22 23:45
推 : 推 怕原PO沒看到的話可以寄信提醒個25F 10/22 23:46
推 : 幹 還解答 先推以免被發現我看不懂26F 10/22 23:46
→ : 另外，原PO也提到了一個很重要的概念，但數學老師不27F 10/22 23:46
→ : 會強調的，那就是極限的等號跟普通的等號意義不同，
→ : 極限的等號必須搭配lim這個詞一起使用，而普通的等
→ : 號就是完全相等！！！這概念超重要
→ : 會強調的，那就是極限的等號跟普通的等號意義不同，
→ : 極限的等號必須搭配lim這個詞一起使用，而普通的等
→ : 號就是完全相等！！！這概念超重要
→ : 只學到 -> 極限只是個定義31F 10/22 23:48
→ : 就像一般人能同意 1/9 × 9 = 1, 卻不能理解1/9 = 0.111循32F 10/22 23:48
→ : 環, 1/9 × 9 = 0.999循環 = 1的事實, 其實9X=9的証明就只
→ : 是表達這件事而已
→ : 環, 1/9 × 9 = 0.999循環 = 1的事實, 其實9X=9的証明就只
→ : 是表達這件事而已
→ : 丟它-欸鋪西龍 這個詞也很有創意XDDDDD35F 10/22 23:49
推 : 推專業文36F 10/22 23:52
→ : 推37F 10/22 23:55
推 : 再高調38F 10/22 23:56
→ : 值 503 Ptt幣 賺翻
→ : 值 503 Ptt幣 賺翻
→ : 跟我想的一樣40F 10/23 00:00
推 : 推41F 10/23 00:05
推 : 就是這樣啦42F 10/23 00:06
※ 編輯: chieh27 (111.248.192.119), 10/23/2017 00:13:02推 : 比大學教授教得還清楚!!!.43F 10/23 00:11
→ : 謝謝大家的鼓勵 我修改了好多次表達方式跟錯字 國文老師44F 10/23 00:16
→ teras …
→ : 都要哭了46F 10/23 00:16
→ teras …
推 : 謝謝老師，我又更不清楚了48F 10/23 00:27
推 : 推啊49F 10/23 00:28
推 : 推推50F 10/23 00:37
推 : 謝謝老師51F 10/23 00:40
→ : 真的比較清楚這個概念了
→ : 真的比較清楚這個概念了
推 :53F 10/23 00:41
推 : 用ε-δ證明就好了(′・ω・`)54F 10/23 00:42
推 : 專業推55F 10/23 00:44
推 : 優文56F 10/23 01:03
推 : .57F 10/23 01:12
推 : 微積分一都有教58F 10/23 01:13
推 : 優文推59F 10/23 01:23
推 : 所以意思是0.99999........=1 實際上是取極限的情況才可以60F 10/23 01:25
→ : 寫上等號ㄇ
→ : 寫上等號ㄇ
推 : 紅明顯，可以順便解釋一下，為什麼數學系要學如何證明1+62F 10/23 01:29
→ : 1=2嗎？
→ : 1=2嗎？
推 : 謝謝分享 解說得容易理解~64F 10/23 01:34
→ : tav大 的確是這樣理解沒錯65F 10/23 01:37
→ : dba大 事實上沒有所有數學系都執著於證明1+1=2~ 至少我沒
→ : 有學過~而且雖然證明1+1=2是重要的 但那並非'主流的數學'
→ : 許多數學家也不是那麼care 當然這只是我的感覺
→ : dba大 事實上沒有所有數學系都執著於證明1+1=2~ 至少我沒
→ : 有學過~而且雖然證明1+1=2是重要的 但那並非'主流的數學'
→ : 許多數學家也不是那麼care 當然這只是我的感覺
推 : 供三小QQ69F 10/23 01:39
→ : 因為我對於1+1=2沒有嘗試去知道它們在幹嘛 所以我只能跟70F 10/23 01:40
→ : 你說 我從同學那聽來的 或許會有錯誤 所以請當參考即可
→ : 為什麼要證明1+1=2 其實也跟我們只能理解「有限」有關
→ : 你看自然數是不是已經是是很簡單的集合了? 可惜的是它有
→ : 無窮多個數QQ.. 你可以嘗試跟其他人講解 自然數是什麼
→ : 然後你就會發現你沒辦法講出所有數字的定義 因為講不完
→ : 這時候你會想說 那我講前面n個數的定義 然後定義下一個數
→ : 就是n加上1呀 這想法很好 只差在什麼叫做「n加上1」?
→ : 就是因為這個問題 羅素(應該是他做的) 才要去建構1+1=2
→ : 是什麼意思 實際上你懂這意思後 後面的n+1就解決了
→ : 還是強調一下 我並沒有真的去看過任何書籍跟那領域有關
→ : 所以只是憑我對那領域的認知 嘴砲一下DER QQ
→ : 你說 我從同學那聽來的 或許會有錯誤 所以請當參考即可
→ : 為什麼要證明1+1=2 其實也跟我們只能理解「有限」有關
→ : 你看自然數是不是已經是是很簡單的集合了? 可惜的是它有
→ : 無窮多個數QQ.. 你可以嘗試跟其他人講解 自然數是什麼
→ : 然後你就會發現你沒辦法講出所有數字的定義 因為講不完
→ : 這時候你會想說 那我講前面n個數的定義 然後定義下一個數
→ : 就是n加上1呀 這想法很好 只差在什麼叫做「n加上1」?
→ : 就是因為這個問題 羅素(應該是他做的) 才要去建構1+1=2
→ : 是什麼意思 實際上你懂這意思後 後面的n+1就解決了
→ : 還是強調一下 我並沒有真的去看過任何書籍跟那領域有關
→ : 所以只是憑我對那領域的認知 嘴砲一下DER QQ
推 : list foreach82F 10/23 02:03
推 : 推 您數學系83F 10/23 02:17
推 : 推推84F 10/23 02:18
推 : 跟我想的一樣85F 10/23 03:03
推 : 再推樓主最後說明建構自然數的留言86F 10/23 03:05
推 : 1+1=2是定義不是證明出來的87F 10/23 03:45
推 : 幹終於解開多年的謎團了 感謝88F 10/23 03:49
推 : 強89F 10/23 07:07
推 : 推90F 10/23 07:11
推 : 我文組快推就不會被笑看不懂惹 呵呵91F 10/23 07:17
推 : 推92F 10/23 08:44
推 : u質好文 八卦版回來了93F 10/23 08:48
推 : 原po是sinica的高手把
推 : 原po是sinica的高手把
推 : 這很基本啊 原來有人不知道喔95F 10/23 09:07
推 : 這超基本的連我文組都知道惹96F 10/23 09:48
推 : 好文97F 10/23 10:14
推 : 話說0.99999循環小數 等於1 以常理來看不覺得很弔詭嗎98F 10/23 10:40
推 : 你可以說中文嗎?99F 10/23 11:35
→ : 覺得我昨晚解釋為什麼要證1+1=2 沒有解釋得很清楚100F 10/23 12:18
→ : 首先是我們要建構自然數的集合(為此我們必須拋棄1、2、3
→ : 這種數字符號,理由是我昨晚說的邏輯上不能定義無限個東西
→ : 另外是我們必須轉換角度來定義加法,這種新的定義加法的
→ : 的方式是對於任意兩個元素之間都定義好的 而不是以前csae
→ : by case的定義方式(如1+1=2 2+1=3這種定義方式) 理由也是
→ : 因為case by case 會有無窮多個要定義
→ : 講到這 就發現其實我們實際上已經另外定義了一種'加法'
→ : 接下來要做的就是驗證我們新定義的加法跟以前我們熟悉的
→ : 加法是一樣的,所以才要去證明1+1=2這種事. 注意,這裡的'+
→ : ' 是新定義的那個加法
→ : 只要能證明兩個加法是一樣的 因為新的加法是global定義的
→ : 所以就避開了我們說不清出 以前加法怎麼定義的問題
→ : 大概就4這個邏輯~
→ : 不是實際上已經定新的加法QQ, 因為我沒有怎麼定 所以應
→ : 該說 假設我們可以定義那樣的新加法的話(實際上真的可以)
→ : 結論就是 要證明1+1=2 是因為這個'+'不是以前的那個
→ : 我們只是想要證明它跟舊的是一樣的
→ : 首先是我們要建構自然數的集合(為此我們必須拋棄1、2、3
→ : 這種數字符號,理由是我昨晚說的邏輯上不能定義無限個東西
→ : 另外是我們必須轉換角度來定義加法,這種新的定義加法的
→ : 的方式是對於任意兩個元素之間都定義好的 而不是以前csae
→ : by case的定義方式(如1+1=2 2+1=3這種定義方式) 理由也是
→ : 因為case by case 會有無窮多個要定義
→ : 講到這 就發現其實我們實際上已經另外定義了一種'加法'
→ : 接下來要做的就是驗證我們新定義的加法跟以前我們熟悉的
→ : 加法是一樣的,所以才要去證明1+1=2這種事. 注意,這裡的'+
→ : ' 是新定義的那個加法
→ : 只要能證明兩個加法是一樣的 因為新的加法是global定義的
→ : 所以就避開了我們說不清出 以前加法怎麼定義的問題
→ : 大概就4這個邏輯~
→ : 不是實際上已經定新的加法QQ, 因為我沒有怎麼定 所以應
→ : 該說 假設我們可以定義那樣的新加法的話(實際上真的可以)
→ : 結論就是 要證明1+1=2 是因為這個'+'不是以前的那個
→ : 我們只是想要證明它跟舊的是一樣的
推 : 本來就是這樣，我早就想到了118F 10/23 20:47
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2樓 時間: 2017-10-24 08:41:51 (台灣)
→
10-24 08:41 TW
誰說0.9999數學家說等於1？ 在微積分的概念內，那個=號實際上是寫成≈，意思是趨近於1，只是差異可以小到忽略罷了…“ 文組不ey
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