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[領域]                             (題目相關領域)
摩擦力作功

[來源]                             (課本習題、考古題、參考書...)
奧林匹亞 2003 國家代表隊複賽試題

[題目]
一小鋁塊(質量m)放在另一長條木塊(質量M)上，兩者間有動摩擦係數μ。
而此長條木塊靜止放在一光滑平面上。
t=0時，小鋁塊放在木條上方最左端，以一水平初速υ向右滑行。
t=τ時，小鋁塊停止在長條木塊的一半長度處，兩者達同速向右滑行。
已知重力加速度g，並假設兩者與外界無熱量交換。

請問：
(1)在t=0到τ的期間，「摩擦力」對小鋁塊和長條木塊所做的功，其總和為何？
(2)在t=0到τ的期間，小鋁塊和長條木塊系統的內能共增加多少？


[瓶頸]                             (寫寫自己的想法，方便大家為你解答)

我的想法如下:

(1)
動摩擦力為定值，而定力做功由 W = F．S 可得
可以畫出鋁塊與木條兩者運動的v-t圖
由圖形面積可以知道，兩者在t=0～τ個別滑行的距離
假設，鋁塊向前滑行距 = d，木條向前滑行距 = D (d>D)
摩擦力對鋁塊作負功 W1 = -mgμd
摩擦力對木條作正功 W2 =  mgμD
故所求 = W1 + W2 = -mgμd + mgμD < 0
(此即系統因摩擦而減少的總動能)

(2)
兩物體因摩擦發熱，故產生的熱能即此系統增加的內能(?)
故所求 = -1 ×  (1)解答




但是參考解答卻有不同結論
我把內文打出來：

由於摩擦力為接觸力，故兩物體之間的各接觸點位移△Xi皆相同，
而作用在各接觸點的力，因互為作用力Fi和反作用力-Fi，


[注意]
在熱力學中處理物體內能變化問題時，不可將物體視為剛體，
這點和探討力學問題時常用的模型不同。
因此，在計算摩擦力對小鋁塊和長方體所做的功時，需要從功的基本定義，
即力乘以作用點延力方向的位移，出發考慮，不能將物體各部份的位移，
像剛體一樣視為完全相同(即小鋁塊各點的位移皆為d，而長木條各點的位移皆為D)，
因此摩擦力對小鋁塊和長條木塊所做的功，並非 -mgμd 與 mgμD

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看到這個結論，我差點沒昏倒
與我原本的想法也差太多了吧？

不是常常會看到的一個例題是說：
一個木塊在粗糙的地上減速滑行，最後停止
摩擦力對木塊做功多少？
算法不就是
摩擦力作負功 = -1 ×  摩擦力 ×  木塊滑行距離
　　　　　　 = -1 ×  木塊初動能

不就與上面的說法相違背了？？？
請問，問題出在哪邊呢？


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延伸問題

我突然想到一個問題，若題目要求一個定力對物體的作功
由　做功 = 施力 ×  位移　即可求出答案
但此位移的定義，相對不同的觀察者，有不同量值

舉例：
某人在一等速Ｖ前進的公車上，以定力１牛頓
推動一個１公斤木塊在車上向前滑行１公尺
則此木塊受力做功多少？

若由車上的人來看　ｗ = 1 ×  1
但若改由路邊的靜止觀察者來看這事件
他看到木塊受力１牛頓，但是實際往前移動 = 1 + Ｖ√2
Ｖ√2 為推動過程(歷時√2秒)，公車前進的距離
故路邊觀察者會認為，此木塊受力作功 ｗ = 1 ×  (1 + Ｖ√2)


因為我們不知道任何物體的"絕對"速度
這個世界都是相對的...

回到原本的題目
若題目要求，此系統受摩擦力作功總和為多少？
是否也沒有一"絕對"的答案呢？



請問各位大大，我上面的想法正確嗎？
歡迎指教，謝謝～

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